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模拟退火 | Vehicle Routing Problem (VRP) using Simulated Annealing (SA) with Matlab
May 18, 2016

使用Matlab用模拟退火(SA)解决VRP问题。首先什么是VRP问题?

大家应该都知道旅行商问题(TSP,Traveling Salesman Problem),即求一个旅行家从一个仓库出发,通过沿途所有城市,再回到仓库所需要的最短路径。TSP问题中只有一个旅行商,那我们如何去解决有多个旅行商(车辆)同时送货的问题呢?

VRP

这就引出了VRP问题,即在TSP问题的基础上,加上两个限定条件:

  • 有多个旅行商(车辆)同时送货。
  • 每个旅行商(车辆)能携带的货物量(capacity)。

也就是说,TSP问题是VRP问题的一个特例(不考虑capacity并且只有一辆车的情况)。

现在为了简化问题,我们先不考虑汽车容量,只考虑有多个旅行商(车辆)时我们应该如何解决这个问题。 下图是一个TSP问题的邻接矩阵 (D是仓库)

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我们从[ABC]随机生成一个排列组合,然后再将D接到这个序列的两头即得出了一条路线。

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现在考虑VRP问题,假设现在我们有两辆汽车,其实我们需要做的只是在原来的矩阵多加一行一列,然后把一辆车当成是城市,也可以理解成有多少辆车就有多少个仓库,但他们在地图上其实是一点,然后对[A B C D1]进行排列组合,即可得到:

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然后把D2加到这个序列两头,就可以生成两条路线了(1. D-B-A-D 2.D-C-D)这样就把一个VRP问题装换成TSP问题了。

不过有两个方面要注意的:

  • 生成的序列两头不能是D
  • 不能有两个D连在一起

这两种情况都相当于少了一辆车

模拟退火 SA

首先看这张图,如果采用一般的贪心算法求最大值,那么当搜索到达A之后,就不会继续向前了,这就陷入了局部最优解。

SA模拟退火算法就是解决这个问题的一个办法,模仿金属冶炼时的退火过程,以一定概率接受一个更差一点的解,从而跳出局部最优解。

具体算法的实现请参照文末参考文献,这里只是简单带过

  • 假设温度比设置的最低温度高
  • 假如生成的解比原来的解更优,则接受生成的较优解。
  • 假如生成的解比原来的差,则计算 P(dE)=exp(dE/(kT)), 以一定的概率接受这个较差解,然后降温。
  • 生成一个neighbor,重复整个过程。

生成neignbor的方法也多种多样,比如说:

  • swap
  • insert
  • reverse

Simulation

让我们来想一个特例,80座城市,分布在四个角上,仓库在正中间,总共有四辆车。那么路程最短的解很明显可以想象出是每辆车分别去访问一个角。matlab工程在文末附件部分给出,仿真结果如下:

观察下图,可以看出一开始温度较高的时候,容易接受一个比自己差一点的解,从而跳出局部最优解,随着时间推移,温度降下来之后,就基本上不能再接受比自己再差的解了。

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参考文献:
  • “Improvement heuristics for the Vehicle Routing Problem based on Simulated Annealing” —— Alex Van Breedam
matlab工程代码:

https://github.com/lzane/VRP-using-SA-with-Matlab


Tags: Tech Algorithm

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